Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）直接寫出點A、B、C的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；

（3）點D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合）過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD，直線BC把△BDF的面積分成兩部分，使，請求出點D的坐標；

（4）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A、B、C的坐標分別為：（1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）P（2，3）；（3）D（，）；（4）M的坐標為：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．

【解析】

（1）令y＝0，則x＝1或5，令x＝0，則y＝5，即可求解；

（2）點B是點A關于函數對稱軸的對稱點，連接BC交拋物線對稱軸于點P，則點P為所求，即可求解；

（3）S△BDE：S△BEF＝2：3，則，即：，即可求解；

（4）分MB為斜邊、MC為斜邊、BC為斜邊三種情況，分別求解即可．

（1）令y＝0，則x＝1或5，令x＝0，則y＝5，

故點A、B、C的坐標分別為：（1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝2，

點B是點A關于函數對稱軸的對稱點，連接BC交拋物線對稱軸于點P，則點P為所求，

直線BC的表達式為：y＝x＋5，

當x＝2時，y＝3，故點P（2，3）；

（3）設點D（x，x2＋4x＋5），則點E（x，x＋5），

∵S△BDE：S△BEF＝2：3，則，

即：，

解得：m＝或5（舍去5），

故點D（，）；

（4）設點M（2，m），而點B、C的坐標分別為：（5，0）、（0，5），

則MB2＝9＋m2，MC2＝4＋（m5）2，BC2＝50，

①當MB為斜邊時，則9＋m2＝4＋（m5）2＋50，解得：m＝7；

②當MC為斜邊時，則4＋（m5）2=9＋m2+50，可得：m＝3；

③當BC為斜邊時，則4＋（m5）2+9＋m2=50可得：m＝6或1；

綜上點M的坐標為：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．