Question

【題目】已知：在△ABC中，∠ACB=90°，點P是線段AC上一點，過點A作AB的垂線，交BP的延長線于點M，MN⊥AC于點N，PQ⊥AB于點Q，AQ=MN． 求證：

（1）△APM是等腰三角形；

（2）PC=AN．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)利用條件得到∠BAM=∠ANM=90°，∠PAQ=∠AMN即可解答.

(2)轉換角度，利用角平分線性質解答.

（1）解：∵BA⊥AM，MN⊥AC，

∴∠BAM=∠ANM=90°，

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，

∴∠PAQ=∠AMN，

∵PQ⊥AB，MN⊥AC，

∴∠PQA=∠ANM=90°，

在△AQP和△MNA中，

∴△AQP≌△MNA，

∴MA=AP，

∴△APM是等腰三角形．

（2）解：∵MA=AP，

∴∠AMP=∠APM，

∵∠APM=∠BPC，

∴∠AMP=∠BPC，

∵∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=180°-∠BAM=90°，

∴∠ABM=∠PBC，

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，

∴PQ=PC（角平分線的性質），

由（1）可知AN=PQ，

∴PC=AN．