Question

如圖，在直角梯形OABC中，已知B、C兩點的坐標分別為B（8，6）、C（10，0），動點M由原點O出發沿OB方向勻速運動，速度為1單位/秒；同時，線段DE由CB出發沿BA方向勻速運動，速度為1單位/秒，交OB于點N，連接DM，過點M作MH⊥AB于H，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．
（1）試說明：△BDN∽△OCB；
（2）試用t的代數式表示MH的長；
（3）當t為何值時，以B、D、M為頂點的三角形與△OAB相似？
（4）設△DMN的面積為y，求y與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據平行線證明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根據兩組角對應相等兩三角形相似即可證明△BDN∽△OCB；
（2）利用勾股定理求出OB的長為10，再表示出BM長為10-t，然后利用相似三角形對應邊成比例得

MH

AO

=

BM

BO

，代入求解即可；
（3）因為兩三角形的對應邊不明確，所以分BD與BA是對應邊和BD與BO是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
（4）先求出△OBC的面積為30，再根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△BDN的面積，然后分點M在ON上時S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN和點M在BN上時S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM兩種情況求出△DMN的面積．

解答：解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵線段DE由CB出發沿BA方向勻速運動，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=

OA2+AB2

=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴

MH

AO

=

BM

BO

，
∴

MH

6

=

10-t

10

，
∴MH=6-

3

5

t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴

BD

BA

=

BM

BO

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
∴t=

40

9

，
②若△BDM∽△BOA，
∴

BD

BO

=

BM

BA

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
∴t=

50

9

；
綜上所述，當t=

40

9

或t=

50

9

時，△BDM與△BOA相似；

（4）過點B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴S△B0C=

1

2

×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴

S△BDN

S△BOC

=(

BD

OC

)2，
∴

S△BDN

30

=(

t

10

)2，
∴S△BDN=

3

10

t2，
①當點M在ON上即0＜t＜5時，
y=S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN，
=

1

2

×t×(6-

3

5

t)-

3

10

t2，
=3t-

3

5

t2，
②當點M在BN上即5＜t＜8時，
y=S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM，
=

3

10

t²-

1

2

×t×（6-

3

5

t），
=

3

5

t²-3t．

點評：本題綜合性較強，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性質，要注意分情況討論．