Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B兩點的坐標分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OB、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交AB于點E，射線QE交x軸于點F．設動點PQ運動時間為t（單位：秒）．
（1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；
（2）當t=2秒時，求梯形OFBC的面積；
（3）當t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過B作BG⊥OA于G，過Q作QH⊥OA于H．可根據勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，讓QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據平行線段成比例，可以得出AF，進而求出OF的值，這樣就可以求出梯形的面積；
（3）分三種情況進行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值．

解答：解：（1）如圖，過B作BG⊥OA于G，
則AB=

BG2+GA2

=

122+(15-10)2

=

169

=13．
過Q作QH⊥OA于H，
則QP=

QH2+PH2

=

122+(10-t-2t)2

=

144+(10-3t)2

．
要使四邊形PABQ是等腰梯形，則AB=QP，
即

144+(10-3t)2

=13．
∴t=

5

3

，或t=5（此時PABQ是平行四邊形，不合題意，舍去）；
∴t=

5

3

．

（2）當t=2時，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴

QB

AF

=

QE

EF

=

QD

DP

=

QB

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=

1

2

（10+19）×12=174．

（3）①當QP=PF時，則

122+(10-t-2t)2

=15+2t-2t，
∴t=

1

3

或t=

19

3

．
②當QP=QF時，則

122+(10-t-2t)2

=

122+FH2

=

122+[15+2t-(10-t)]2

，
即

122+(10-3t)2

=

122+(5+3t)2

，
∴t=

5

6

．
③當QF=PF時，則

122+(5+3t)2

=15，
∴t=

4

3

或t=-

14

3

，
綜上，當t=

1

3

，t=

19

3

，t=

5

6

，t=

4

3

時，△PQF是等腰三角形．

點評：①本題綜合考查了勾股定理的應用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識點；
②由于知識點較多，有一定難度；
③要注意的是（3）中要分三種情況進行討論，不可丟掉任何一種．