Question

如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O為原點建立直角坐標系，A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，8），CB=4，D為OA中點，動點P自A點出發沿A→B→C→O的線路移動，速度為1個單位/秒，移動時間為t秒．
（1）求AB的長，并求當PD將梯形COAB的周長平分時t的值，并指出此時點P在哪條邊上；
（2）動點P在從A到B的移動過程中，設△APD的面積為S，試寫出S與t的函數關系式，并指出t的取值范圍；
（3）幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分？求出此時點P的坐標？

Answer 1

分析：（1）題目給出了B、C點的坐標，可設出直線BC的解析式，應用待定系數法求出解析式即可；
（2）可根據四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積，列出方程并解出方程即可；
（3）要根據P的位置在不同邊的具體情況利用相關的知識寫出函數關系式及取值范圍．

解答：解：（1）點B坐標為（4，8），AB=

(10-4)2+(0-8)2

=10，（1分）
由5+t=

10+10+4+8

2

，得t=11．（1分）
此時點P在CB上；（1分）

（2）解法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，
則BE=OC=8．
∵AE=OA-BC=10-4=6，
∴AB=

BE2+AE2

=10，
∴AB=OA，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=BE=8，DH=4．（1分）
∴S=

1

2

×4×t=2t（0＜t＜10）；（1分）
解法二
∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，∴

S

1 2 ×5×8

=

t

10

，（1分）
即S=2t（0＜t≤10）；（1分）

（3）點P只能在AB或OC上，
（ⅰ）當點P在AB上時，設點P的坐標為（x，y）．
由S_△APD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時t=7．
由(10-x)2+(

28

5

)2=49，得x=

29

5

．
即在7秒時有點P1(5

4

5

，5

3

5

)；（1分）
（ⅱ）當點P在OC上時，設點P的坐標為（0，y）．
由S_△OPD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時t=14+(8-

28

5

)=16

2

5

．
即在16

2

5

秒時，有點P2(0，5

3

5

)．（1分）
故在7秒時有點P1(5

4

5

，5

3

5

)，在16

2

5

秒時有點P2(0，5

3

5

)，使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．（1分）

點評：本題考查了直角梯形及一次函數的綜合運用；做題時要認真理解題意，找出等量關系，而分類討論是正確解答本題的關鍵．