Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA、OC邊所在直線與x、y軸重合，BC∥OA，點B的坐標為（6.4，4.8），對角線OB⊥OA．在線段OA、AB上有動點E、D，點E以每秒2厘米的速度在線段OA上從點O向點A勻速運動，同時點D以每秒1厘米的速度在線段AB上從點A向點B勻速運動．當點E到達點A時，點D同時停止運動．設點E的運動時間為t（秒），
（1）求線段AB所在直線的解析式；
（2）設四邊形OEDB的面積為y，求y關于t的函數關系式，并寫出自變量的t的取值范圍；
（3）在運動過程中，存不存在某個時刻，使得以A、E、D為頂點的三角形與△ABO相似，若存在求出這個時刻t，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的判定得出△BOH∽△BOA，進而得出A點坐標，再由點B的坐標為（6.4，4.8），利用待定系數法求出解析式即可；
（2）過點D作DF⊥OA，垂足為F，DF∥BH，得出△ADF∽△ABH，得出DF=0.8t，進而得出S_△ADE的值以及y與t的關系式；
（3）分別根據①∠ADE=90°，當

AD

AB

=

AE

AO

時，△ADE∽△ABO，以及②∠AED=90°，當

AD

AO

=

AE

AB

時，△AED∽△ABO，得出答案即可．

解答：解：（1）過點B作BH⊥OA，垂足為點H，
∵∠COA=90°，BC∥OA，
∴∠BCO=90°，
∴四邊形COHB是矩形，
∴BH=CO，BC=OH，
∵B（6.4，4.8），
∴OH=6.4，BH=4.8，
∴OB=

6.42+4.82

=8；
∵OB⊥BA，
∴∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠OHB=90°，
∵∠BOH=∠AOB，
∴△BOH∽△BOA，
∴

BO

AO

=

HO

BO

，
∴OB²=AO•OH
∴8²=OA•6.4，
OA=10，
∴AB=

102-82

=6，
∴A（10，0），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，

10k+b=0 6.4k+b=4.8

，
解得：

k=- 4 3 b= 40 3

，
∴y=-

4

3

x+

40

3

；

（2）過點D作DF⊥OA，垂足為F．
∴DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴

DF

BH

=

AD

AB

，

DF

4.8

=

t

6

，
DF=0.8t，
∵OE=2t，AE=10-2t，
S_△ADE=

1

2

AE•DF=

1

2

（10-2t）×0.8t=4t-

4

5

t²，
∴y=24-4t+

4

5

t²（0＜t≤5），

（3）分兩種情況：
①∠ADE=90°，
∵∠BAO=∠DAE，
當

AD

AB

=

AE

AO

時，
△ADE∽△ABO，

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
②∠AED=90°，
∵∠OAB=∠DAE，
當

AD

AO

=

AE

AB

時，
△AED∽△ABO，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
∴當t=

30

11

或t=

50

13

秒時，以A、E、D為頂點的三角形與△ABO相似．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用，將動點靜止在某一時刻，轉化為相關三角形的知識求解是解題關鍵．