Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，2），C（3，0）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ⊥直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t≤7），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）寫出點B的坐標：

（3，2）

；
（2）當t=7時，求直線PQ的解析式，并判斷點B是否在直線PQ上；
（3）求S關于t的函數關系式；
（4）連接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面積為1：3？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，2），C（3，0），即可求得點B的坐標；
（2）由A（1，2），可求得直線OA的解析式，又由PQ⊥直線OA，即可設直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+b，又由當t=7時，點P的坐標為（7，0），即可求得直線PQ的解析式，繼而可得點B在直線PQ上；
（3）分別從當0＜t≤3，當3＜t≤5與當5＜t≤7時，去分析求解即可求得答案；
（4）由題意可得：當3＜t≤5時，S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

2

，當5＜t≤7時，S_△BDE=

1

4

S_△ABC=

1

2

，則可得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x軸于點C，
∴點B的坐標為：（3，2）；
故答案為：（3，2）．

（2）∵設直線OA的坐標為：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直線OA的解析式為：y=2x，
∵PQ⊥直線OA，
∴設直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+b，
∵當t=7時，點P的坐標為（7，0），
∴-

1

2

×7+b=0，
解得：b=

7

2

，
∴直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+

7

2

；
當x=3時，y=2，
∴點B在直線PQ上；

（3）∵直線OA的解析式為：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=

2 5

5

，cos∠POQ=

5

5

，
∴tan∠OPQ=

1

2

，
∵OP=t，
∴OQ=

5

5

t，PQ=

2 5

5

t，
當t=3時，點P與點C重合，
當Q與A重合時，即OQ=OA=

12+22

=

5

，
∴

5

5

t=

5

，
解得：t=5；
當0＜t≤3，S=S_△PQO=

1

2

OQ•PQ=

1

2

×

5

5

t×

2 5

5

t=

1

5

t²；
當3＜t≤5，如圖2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC•tan∠OPQ=

1

2

PC=

t-3

2

，
S=S_△POQ-S_△PCD=

1

5

t²-

1

2

（t-3）×

t-3

2

=-

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
∴當3＜t≤5，s=

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
當5＜t≤7，如圖3，
∵CD=

t-3

2

，
∴BD=2-

t-3

2

=

7-t

2

，
∵AB∥x軸，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=

1

2

，
∴BE=2BD=7-t，
∴S=S_梯形OABC-S_△BED=

1

2

×（2+3）×2-

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

，
∴當5＜t≤7，s=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

；

（4）存在．
理由：∵S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∴若使得PQ分△ABC的面積為1：3，
當3＜t≤5時，S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
設AC交PQ于點E，過點E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=

t-3

2

，
∴EF=2DF=t-3，
∴

1

2

×（t-3）×

t-3

2

=

1

2

，
解得：t=3+

2

；
當5＜t≤7時，S_△BDE=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
即

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=

1

2

，
解得：t=7-

2

；
綜上可得：t1=3+

2

或t2=7-

2

．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、直角梯形的性質、相似三角形的判定與性質、垂線間的關系以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．