Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=6，AB=8，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）求sin∠E的值.

Answer 1

【答案】(1）證明見解析；（2） .

【解析】

（1）先連結OD，由OD=OB，得出∠CBA=∠ODB，由于AC=BC，得出∠CBA=∠A．所以∠ODB=∠A，得出DO∥AC，可證EF是⊙O的切線；

（2）連接BG，可得BG∥EF，那么∠E=∠GBC，設CG=x，在Rt△BGA中和Rt△BGC中，利用勾股定理都表示出BG2，求得CG的值，CG：BC即為sinE的值．

證明：(1）如圖，連結OD，則OD=OB

∴∠CBA=∠ODB

∵AC=BC

∴∠CBA=∠A

∴∠ODB=∠A

∵OD∥AC，∴∠ODE=∠CFE

∵DF⊥AC于F，∴∠CFE=90

∴∠ODE=90

∴OD⊥EF

∴EF是⊙O的切線

（2）連結BG，∵BC是直徑

∴∠BGC=90.=∠CFE

∴BG∥EF

∴∠GBC=∠E

設CG=x，則AG=AC-CG=6-x

在Rt△BGA中，

在Rt△BGC中，

∴

解得 即

在Rt△BGC中，

∴sin∠E