Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F.

（1）證明：△APD≌△CPD；

（2）求∠CPE的度數；

（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90°；（3）AP=CE.

【解析】

（1）利用正方形得到AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，即可證明全等；

（2）設，利用三角形內角和性質及外角性質得到，，再利用周角計算得出x值；

（3）AP=CE. 設，利用三角形內角和性質及外角性質得到，

，求出，得到是等邊三角形，即可證得AP=CE.

解：

（1）四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，

在與中，

，

∴；

（2）設，

由（1）得，，

因為PA=PE，所以

所以；

（3）AP=CE.

設，

由（1）得，，

∵PA=PE且在菱形ABCD中，

∴，

∴，

由（1）得PA=PC，∴PC=PE，

∴是等邊三角形，

∴PE=PC=CE，

∴AP=CE.