Question

【題目】如圖，已知是的直徑，點、在上，且，過點作，垂足為．

求的長；

若的延長線交于點，求弦、和弧圍成的圖形（陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】（1）OE＝；（2）陰影部分的面積為

【解析】

（1）由題意不難證明OE為△ABC的中位線，要求OE的長度即要求BC的長度，根據特殊角的三角函數即可求得；（2）由題意不難證明△COE≌△AFE，進而將要求的陰影部分面積轉化為扇形FOC的面積，利用扇形面積公式求解即可.

解：(1) ∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OE⊥AC，

∴OE//BC，

又∵點O是AB中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∵∠D=60°，

∴∠B=60°，

又∵AB=6，

∴BC=AB·cos60°=3，

∴OE= BC=；

(2)連接OC，

∵∠D=60°，

∴∠AOC=120°，

∵OF⊥AC，

∴AE=CE，=，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF為等邊三角形，

∴AF=AO=CO，

∵在Rt△COE與Rt△AFE中，

，

∴△COE≌△AFE，

∴陰影部分的面積=扇形FOC的面積，

∵S扇形FOC==π．

∴陰影部分的面積為π．