Question

【題目】如圖，在四邊形ABDE中，C是BD的中點，BD＝8，AB＝2，DE＝8．若∠ACE＝150°，則線段AE長度的最大值為_____．

Answer 1

【答案】10+4．

【解析】

作B關于AC的對稱點F，D關于EC的對稱點G，連接AF，FC，CG，EG，FG．作CH⊥FG于H，求出AF，FG，EG，根據兩點之間線段最短解決問題即可．

解：作B關于AC的對稱點F，D關于EC的對稱點G，連接AF，FC，CG，EG，FG．作CH⊥FG于H．

∵C是BD邊的中點，

∴CB＝CD＝BD＝4

∵△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA．

同理可證：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE

∵CB＝CD，∴CG＝CF

∵∠ACE＝150°，

∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣150°＝30°．

∴∠FCA+∠GCE＝30°．

∴∠FCG＝120°．CF＝CG＝4，

∵CH⊥FG，

∴FH＝HG＝CFsin60°＝2，

∴FG＝4

∵AB＝2，DE＝8，

∴AF＝AB＝2，EG＝ED＝8

∴AE≤AF+FG+EG＝10+4．

∴當A、F、G、E共線時AE的值最大，最大值為10+4．

故答案為：10+4．