Question

【題目】如圖矩形COAB，點B（4，3），點H位于邊BC上．

直線l1：2x﹣y+3＝0

直線l2：2x﹣y﹣3＝0

（1）若點N為l2上第一象限的點，△AHN為等腰Rt△，求N坐標．

（2）若把l1、l2上的點構成的圖形稱為圖形V．已知矩形AJHI的頂點J在圖形V上，I為平面系上的點，且J（x，y），求x的范圍（寫出過程）．

Answer 1

【答案】(1)點N的坐標為（，）；（2，1）；（，）；(2)x的取值范圍為﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤2或≤x≤．

【解析】

（1）分點A、H、N分別為直角時的三種情況，根據等腰直角三角形的性質，設點N的坐標利用全等三角形的關系求出x的值即可得到答案；

（2）當點J在l2上，分兩種情況：點H與點B重合時與點C重合時，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半及勾股定理求出點J的坐標，即可得到取值范圍，同樣的方法求出點J在l1上時x的取值范圍即可得到答案.

（1）①若點A為直角頂點時，點N在第一象限，連結AC，

如圖1，∠AHB＞∠ACB＞45°，

∴△AHN不可能是等腰直角三角形，

∴點N不存在；

②若點H為直角頂點時，點N在第一象限，如圖1，

過點N作MN⊥CB，交CB的延長線于點M，

則Rt△ABH≌Rt△HMN，

∴AB＝HM＝4，MN＝HB，

設N（x，2x﹣3），則MN＝x﹣4，

∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），

x＝，

∴N（，）；

③若點N為直角頂點時，點N在第一象限，如圖2，

設N1（x，2x﹣3），

過點N1作N1G1⊥OA，交BC于點P1，

則Rt△AN1G1≌Rt△HM1P1，

∴AG1＝N1P1＝3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）＝4，

x＝2，

∴N1（2，1）；

設N2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3＝4，

∴x＝，

∴N2（，）；

綜上所述，點N的坐標為（，）；（2，1）；（，）；

（2）當點J在直線l2上時，

∵點J的橫坐標為x，

∴J（x，2x﹣3），

當點H和點B重合時，H（4，3），

∴AH的中點G坐標為（2，3），

∵四邊形AJHI是矩形，

∴∠AJB＝90°，

∴JG＝AH=2，

∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣3）2＝4，

∴x＝（點J在AB上方的橫坐標）或x＝2（點J在AB下方的橫坐標），

當點H和點C重合時，H（4，0），AH的中點G'坐標為（2，），

同理：JG'＝AH=，

∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣）2＝，

∴x＝（和點J在AB上方構成的四邊形是矩形的橫坐標）或x＝（和點J在AB下方構成的四邊形是矩形的橫坐標）

∴≤x≤或≤x≤2．

當點J在l1上時，同理：﹣≤x＜0或0＜x≤．

綜上所述，x的取值范圍為﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤2或≤x≤．