Question

【題目】已知O為直線MN上一點，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點，DE⊥DC交MN于E．

（1）如圖1，若點B在OP上，則
①ACOE（填“＜”，“=”或“＞”）；
②線段CA、CO、CD滿足的等量關系式是；
（2）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（0°＜α＜45°），如圖2，那么（1）中的結論②是否成立？請說明理由；
（3）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（45°＜α＜90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關系式 ．

Answer 1

【答案】
（1）=；AC2+CO2=CD2
（2）

如圖2，（1）中的結論②不成立，理由是：

連接AD，延長CD交OP于F，連接EF，

∵AB=AO，D為OB的中點，

∴AD⊥OB，

∴∠ADO=90°，

∵∠CDE=90°，

∴∠ADO=∠CDE，

∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，

即∠ADC=∠EDO，

∵∠ADO=∠ACO=90°，

∴∠ADO+∠ACO=180°，

∴A、D、O、C四點共圓，

∴∠ACD=∠AOB，

同理得：∠EFO=∠EDO，

∴∠EFO=∠AOC，

∵△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠DCO=45°，

∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，

∴OC=OF，

∵∠ACO=∠EOF=90°，

∴△ACO≌△EOF，

∴OE=AC，AO=EF，

∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，

Rt△DEF中，EF＞DE=DC，

∴AC2+OC2＞DC2，

所以（1）中的結論②不成立

（3）OC﹣AC= CD
【解析】解：（1）①AC=OE，
理由：如圖1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠AOB=45°，
∵OP⊥MN，
∴∠COP=90°，
∴∠AOC=45°，
∵AC∥OP，
∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，
∴AC=OC，
連接AD，

∵BD=OD，
∴AD=OD，AD⊥OB，
∴AD∥OC，
∴四邊形ADOC是正方形，
∴∠DCO=45°，
∴AC=OD，
∴∠DEO=45°，
∴CD=DE，
∴OC=OE，
∴AC=OE；
②在Rt△CDO中，
∵CD2=OC2+OD2 ，
∴CD2=AC2+OC2；
所以答案是：AC2+CO2=CD2；
（3.）如圖3，結論：OC﹣CA= CD，
理由是：連接AD，則AD=OD，

同理：∠ADC=∠EDO，
∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠AOC，
∵∠DAB=∠AOD=45°，
∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，
即∠DAC=∠DOE，
∴△ACD≌△OED，
∴AC=OE，CD=DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE2=2CD2 ，
∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2 ，
∴OC﹣AC= CD，
所以答案是：OC﹣AC= CD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．