Question

【題目】如圖，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，過 E 做 EF⊥AD 于 F，連接BF交AE于P，連接PD．

（1）求證：四邊形ABEF 是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，

∵EF⊥AD，

∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，

∴四邊形ABEF是矩形，

∵AE平分∠BAD，AF∥BE，

∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四邊形ABEF是正方形.

（2）

解：過點P作PH⊥AD于H，如圖所示：

∵四邊形ABEF是正方形，

∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，∴AB∥PH，

∵AB=6，∴AH=PH=3，

∵AD=8，∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，

在Rt△PHD中，∠PHD=90°．

∴tan∠ADP==

【解析】（1）根據正方形的判定定理，先證明四邊形ABEF是矩形，再證明鄰相等可得其為正方形；
（2）求tan∠ADP需要構造直角三角形，所以過點P作PH⊥AD于H，從而可找到突破口.