Question

18．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
求證：（1）AC=EF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）AC⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；
（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）先求∠EAC=90°，由?ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，則AC⊥DF．

解答 證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF．

點評 此題考查了平行四邊形的性質和判定、三角形全等的性質和判定以及等邊三角形的性質，首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形．