Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上異于A、B的兩點，連接CD，過點C作CE⊥DB，交DB的延長線于點E．

(1)連接AC、AD，求證：∠DAC+∠ACE=180°．

(2)若∠ABD=2∠BDC，求證：CE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據圓周角定理證得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB證得AD∥CE，根據平行線的性質即可證得結論；

（2）連接OC．先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CE，根據切線的判定即可證明CE為⊙O的切線.

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥DB，

∵CE⊥DB，

∴AD∥CE，

∴∠DAC+∠ACE=180°；

（2）連接OC．如圖：

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠BDC，∠BDC=∠1，

∴∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CE．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CE為⊙O的切線；