Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，過點A作AG⊥ED交DE于點F，交CD于點G．

（1）若BC＝4，求AG的長；

（2）連接BF，求證：AB＝FB．

Answer 1

【答案】（1）AG的長為2；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，進而證明△DEC≌△AGD（ASA），再根據勾股定理即可求解；

（2）延長DE交AB延長線于點H，構造全等三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，

∴∠ADF+∠GDF＝90°，

∵AG⊥ED交DE于點F，

∴∠AFD＝90°，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠GDF＝∠DAF，

∴△DEC≌△AGD（ASA）

∴DG＝CE，

∵點E是BC的中點，BC＝4，

∴EC＝BC＝2，

∴DG＝2，

∴AG＝＝＝,

∴AG的長為．

（2）如圖所示，延長DE交AB延長線于點H，

∵E是BC中點，

∴BE＝CE，

∵∠C＝∠HBE＝90°，

∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA）

∴BH＝DC，

∵DC＝AB，

∴BH＝AB，即點B是AH的中點，

∵∠AFH＝90°，

∴在Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．