Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4 ，點C為半圓AB上一動點，以BC為邊向⊙O外作正△BCD（點D在直線AB的上方），連接OD，則線段OD的長（ ）
A.隨點C的運動而變化，最大值為4
B.隨點C的運動而變化，最大值為4
C.隨點C的運動而變化，最小值為2
D.隨點C的運動而變化，但無最值

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖，連接OC， ∵△BCD是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中， ，
∴△OCD≌△OBD（SSS），
∴∠BDO=∠CDO= ∠BDC=30°，
過點O作OF⊥BD于F，

在Rt△ODF中，∠BDO=30°，
∴OD=2OF，
當點C在運動的過程中，OD要最大，即OF最大，而OF最大=OB，
∴OD最大=2OF最大=2OB=AB=4 ．
故選B．
方法二、如圖2，連接OC，
將△OCD繞點C順時針旋轉60°，則點D落在點B處，OD和⊙O相交于H，
連接OH，CH，

同方法一，得出∠ODC=30°，
∴∠CBH=30°，
∴∠COH=60°，
∴△COH是等邊三角形，
∴HC=OC，∠OCH=60°，
∵△BCD是等邊三角形，
∴CD=BC，∠BCD=60°，
∴∠OCD=∠HCB，
在△OCD和△HCB中， ，
∴△OCD≌△HCB（SAS），
∴OD=BH，
∵BH是⊙O的弦，
∴BH最大=AB=4 ，
即：OD最大=4 ，
故選B．