Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線，連接MQ交⊙O于點H，E為上一點，連接ME，NE，NE交MQ于點F，且ME2=EFEN．

（1）求證：QN=QF；
（2）若點E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵ME2=EFEN，

∴=．

又∵∠MEF=∠MEN，

∴△MEF∽△MEN，

∴∠1=∠EMN．

∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，

∴∠2=∠3，

∴QN=QF；

（2）

解：如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，則∠4=∠5．

∴=．

∴OE⊥MQ，

∴EG=1．

∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，

∴sin∠GMO=，

∴=，即=，

解得，r=2.5，即⊙O的半徑是2.5．

【解析】（1）如圖1，通過相似三角形（△MEF∽△MEN）的對應角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據等角對等邊證得結論；
（2）如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．根據（1）中的相似三角形的性質證得∠EMF=∠ENM，所以由“圓周角、弧、弦間的關系”推知點E是弧MH的中點，則OE⊥MQ；然后通過解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO== ， 則可以求r的值．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．