Question

【題目】某商店銷售面向中考生的計數跳繩，每根成本為20元，銷售的前40天內的日銷售量m（根）與時間t（天）的關系如表．

時間t（天）	1	3	8	10	26	…
日銷售量m（件）	51	49	44	42	26	…

前20天每天的價格y1（元/件）與時間t（天）的函數關系式為：y1= t+25（1≤t≤20且t為整數）；后20天每天的價格y2（元/件）與時間t（天）的函數關系式為：y2=﹣ t+40（21≤t≤40且t為整數）．
（1）認真分析表中的數據，用所學過的一次函數，二次函數的知識確定一個滿足這些數據m（件）與t（天）之間的關系式；
（2）請計算40天中娜一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜3）給希望工程，公司通過銷售記錄發現，前20天中扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表格中數據可知，當時間t每增加1天，日銷售量相應減少1件，

∴m與t滿足一次函數關系，

設m=kt+b，將（1，51）、（3，49）代入，

得： ，

解得： ，

∴m與t的函數關系為：m=﹣t+52

（2）解：設日銷售利潤為P，

當1≤t≤20時，

P=（﹣t+52）（ t+25﹣20）=﹣ （t﹣16）2+324，

∴當t=16時，P有最大值，最大值為324元；

當21≤t≤40時，

P=（﹣t+52）（﹣ t+40﹣20）= （t﹣46）2﹣18，

∵當t＜46時，P隨t的增大而減小，

∴當t=21時，P取得最大值，最大值為 （21﹣46）2﹣18=294.5元；

∵324＞294.5，

∴第16天時，銷售利潤最大，最大利潤為324元

（3）解：設前20天扣除捐贈后的日利潤為W，

則W=（﹣t+52）（ t+25﹣20﹣a）=﹣ [t﹣2（8+a）]2+a2﹣36a+324，

∴對稱軸為t=16+2a，

∵1≤t≤20，

∴16+2a≥20，解得：a≥2，

即a≥2時，W隨t的增大而增大，

又∵a＜3，

∴2≤a＜3

【解析】（1）從表格可看出每天比前一天少銷售1件，所以判斷為一次函數關系式，待定系數法求解可得解析式；（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得出結論；（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數性質求a的取值范圍．