Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，點A在x軸負半軸上，點B、C分別在x軸、y軸正半軸上，且OB=2OA，OBOC=OCOA=2.

(1)求點C的坐標；

(2)點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿AB向點B勻速運動，同時點Q從點B出發以每秒3個單位的速度沿BA向終點A勻速運動，當點Q到達終點A時，點P、Q均停止運動，設點P運動的時間為t(t＞0)秒，線段PQ的長度為y，用含t的式子表示y，并寫出相應的t的范圍；

(3)在(2)的條件下，過點P作x軸的垂線PM，PM=PQ，是否存在t值使點O為PQ中點? 若存在求t值并求出此時△CMQ的面積.

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（8，0），點C的坐標為（0，6）（2）見解析（3）8或16

【解析】

（1）由OBOC=OCOA=2可得OB﹣OA=4，結合OB=2OA可得出OA、OB的長度，從而得出OC的長度，寫出點C的坐標即可；（2）分別求出P、Q兩點相遇的時間、Q點到達A點的時間，寫出不同的時間范圍內，PQ的長度y與時間t的關系式即可；（3）O為P、Q的中點，即OP=OQ，將OP、OQ用含t的式子表示，列方程，解出t，然后畫圖，由于不確定M點位于x軸上方或者下方，所以進行分類討論，利用割補法分別求出△CMQ的面積.

（1）∵OB﹣OC=OC﹣OA=2，

∴OB﹣OA=4，

∵OB=2OA，

∴OA=4，

∴OB=8，OC=6，

∴C（0，6）；

（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，

∵點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿AB向點B勻速運動，同時點Q從點B出發以每秒3個單位的速度沿BA向終點A勻速運動，

∴點P運動的時間為t（t＞0）秒時，AP=t，BQ=3t，

當P、Q兩點相遇時的t的值為：12÷（1+3）=3秒，

∵當點Q到達終點A時，點P、Q均停止運動，

∴t的最大值為12÷3=4秒；

①當0＜t≤3時，如圖1，

PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t，

即y=12﹣4t（0＜t≤3）；

②當3＜t≤4時，如圖2，

PQ=AP+BQ﹣AB=4t﹣12，

即y=4t﹣12（3＜t≤4）；

（3）存在t值使點O為PQ中點，

∵點O為PQ中點，

∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ，

∴4﹣t=8﹣3t，解得：t=2，

當t=2時，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，

①點M在x軸上方時，如圖3，

過點C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM，

∴S△CMQ=(CN+PQ)×PN﹣CNMN﹣PMPQ

=×(OP+PQ)×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4

=×(2+4)×-×2×(6﹣4) ﹣8

=18﹣2﹣8=8；

②點M在x軸下方，如圖4．過點C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM-S△CNM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）PN+PQPM﹣MNCN

=×（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）OP

=×（2+4）×6+8﹣×（6+4）×2

=×6×6+8﹣×10×2

=18+8﹣10=16．

∴△CMQ的面積為：8或16．