Question

【題目】已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）如圖（1），CD平分∠ACB交AB于點D，BE⊥CD于點E，延長BE、CA相交于點F，請猜想線段BE與CD的數量關系，并說明理由．

（2）如圖（2），點F在BC上，∠BFE=∠ACB，BE⊥FE于點E，AB與FE交于點D，FH∥AC交AB于H，延長FH、BE相交于點G，求證：BE=FD；

（3）如圖（3），點F在BC延長線上，∠BFE=∠ACB，BE⊥FE于點E，FE交BA延長線于點D，請你直接寫出線段BE與FD的數量關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD．（2）證明見解析；（3）BE=FD．證明見解析.

【解析】

（1）先利用AAS證明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，再利用ASA證明△BCE≌△FCE，從而得到BE=FE=BF，進而得出BE=CD；

（2）利用“等角對等邊”證明BH=FH，再通過證明△BFE≌△GFE，得到BE=GB，再證明△BHG≌△FHD，得到BG=FD，從而得到BE=FD；

（3）利用相同的方法可得BF和FD的關系．

（1）猜想：BE=CD．

理由：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∠BDE=∠ADC，

∴∠ABF=∠ACD，∠BAF=∠BAC．

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（AAS）．

∴BF=CD．

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCE=∠FCE．

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠FEC=90°．

在△BCE和△FCE中，

，

∴△BCE≌△FCE（ASA）．

∴BE=FE=BF．

∴BE=CD．

（2）證明：∵AB=AC，FH∥AC

∴∠ABC=∠ACB，∠BFH=∠ACB．

∴∠BHF=∠BAC=90°．∠ABC=∠BFH．

∴BH=FH．

∵∠BFE=∠ACB，

∴∠EFG=∠ACB．

∴∠BFE=∠EFG．

∵BE⊥FE，

∴∠BEF=∠GEF．

在△BFE和△GFE中，

，

∴△BFE≌△GFE（ASA）．

∴BE=GE．

∴BE=GB．

在△BHG和△FHD中，

，

∴△BHG≌△FHD（ASA）．

∴BG=FD，

∴BE=FD．

（3）BE=FD．

證明：過點F作GF∥AC，交BE，AD延長線于點G，H

∴∠BFG=∠ACB

∵∠BFE=∠ACB

∴∠BFE=∠GFE

在△FBE和△FBG中

,

∴△FBE≌△FBG（ASA）

∴∠EFB=∠EFG

BE=EG=BG

∵FG∥AC

∴∠BAC=∠BHF=90°

在四邊形GEDH中

∠G+∠EDG=180°

又∵∠HDF+∠EDH=180°

∴∠HDF=∠G

在△DHF和△GHB中

，

∴△DHF≌△GHB（AAS）

∴BG=DF

∴BE=FD．