Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D在BC上，且CD=3cm，現有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以cm/s的速度沿BC向終點C移動.過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ.設動點運動時間為x秒.

（1）周含x的代表數式表示AE、DE的長度；

（2）當點Q在BD（不包括點B、D）上移動時，設△EDQ的面積為y(cm)，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當x為何值時，△EDQ為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）AE=，DE=；（2）（）；（3）x=2.5或3.1秒

【解析】

（1）通過△AEP∽△ADC，列出比例關系，即可用含x的代數式表示AE、DE的長度；
（2）Q在BD上運動x秒后，求出DQ、CP，即可表示y與時間x的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）通過∠EQP=90°，∠QED=90°，分別通過三角形相似，列出比例關系，求出x的值，說明△EDQ為直角三角形．

解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，

∴AD=5，
∵EP∥DC，

∴△AEP∽△ADC，

,

∴ ,

（2）∵BC=5，CD=3，

∴BD=2，
當點Q在BD上運動x秒后，DQ=2-1.25x，
則y=

即y與x的函數解析式為：，其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6．

（3）分兩種情況討論：
①如圖，當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4-x，

又∵EQ∥AC，

∴△EDQ∽△ADC

又 DQ=1.25x-2

∴，

解得x=2.5.

②如圖，當∠QED=90°時，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°

∴△EDQ∽△CDA,

∴,

∵Rt△EDQ斜邊上的高=4-x，
Rt△CDA斜邊上的高為=

解得x=3.1．
綜上所述，當x為2.5秒或3.1秒時，△EDQ為直角三角形．