Question

【題目】綜合與實踐：

操作與發現：

如圖，已知A，B兩點在直線CD的同一側，線段AE，BF均是直線CD的垂線段，且BF在AE的右邊，AE＝2BF，將BF沿直線CD向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP＝90°不變，BP邊與直線CD相交于點P，點G是AE的中點，連接BG．

探索與證明：求證：

（1）四邊形EFBG是矩形；

（2）△ABG∽△PBF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）先通過等量代換得出GE＝BF，然后由AE⊥CD，BF⊥CD得出AE∥BF，從而得到四邊形EFBG是平行四邊形，最后利用BF⊥CD，則可證明平行四邊形EFBG是矩形；

（2）先通過矩形的性質得出∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，然后通過等量代換得出∠ABG＝∠PBF，再加上∠AGB＝∠PFB＝90°即可證明△ABG∽△PBF．

（1）證明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴AE∥BF，

∵AE＝2BF，

∴BF＝AE，

∵點G是AE的中點，

∴GE＝AE，

∴GE＝BF，又AE∥BF，

∴四邊形EFBG是平行四邊形，

∵BF⊥CD，

∴平行四邊形EFBG是矩形；

（2）∵四邊形EFBG是矩形，

∴∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，

∵∠ABP＝90°，

∴∠ABP﹣∠GBP＝∠GBF﹣∠GBP，

即∠ABG＝∠PBF，

∵∠ABG＝∠PBF，∠AGB＝∠PFB＝90°，

∴△ABG∽△PBF．