Question

【題目】如圖所示，是等腰直角三角形，其中，是邊上的一點，連接，過作交于，，且，連接并延長，交于點．若四邊形的面積為，則的面積為__________．

Answer 1

【答案】8

【解析】

連接EC，過點B作BH⊥BE交FM的延長線于點H，由“SAS”可證△BAE≌△CAF，可得BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°，S△ABE=S△ACF，通過證明△BMH≌△CMF，可得BM=CM，由中線的性質可得S△BME=S△MCE，即可求解．

解：如圖，連接EC，過點B作BH⊥BE交FM的延長線于點H，

∵AF⊥AE，AF=AE

∴∠EAF=90°，∠AEF=∠AFE=45°，

∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠EAF，

∴∠BAE=∠CAF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠ABC=45°，

在△BAE和△CAF中

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°，S△ABE=S△ACF，

∴∠EAF+∠AFC=180°，

∴AE∥CF，

∴S△CEF=S△CEF=S△ABE，

∵∠AEF=∠AFE=45°，∠AEB=∠AFC=90°，

∴∠BEH=45°，∠CFE=45°，

∵BH⊥BE，

∴∠BEH=∠BHE=45°，

∴BE=EH=CF，且∠BHE=∠CFE=45°，∠BMH=∠CMF，

∴△BMH≌△CMF（AAS）

∴BM=CM，

∴S△BME=S△MCE，

∴S△BME+S△ABE=S△CME+S△CEF，

∴S四邊形ABME=S△CMF=8，

故答案為8．