Question

【題目】設a，b，c是△ABC的三條邊，關于x的方程x2+x+c-a=0有兩個相等的實數根，方程3cx+2b=2a的根為x=0.

（1）試判斷△ABC的形狀；

（2）若a，b為方程x2+mx-3m=0的兩個根，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）∵x2+x+c－a=0有兩個相等的實數根，

∴△=（）2-4×（c-a）=0，

整理得a+b-2c="0" ①，

又∵3cx+2b=2a的根為x=0，

∴a="b" ②，

把②代入①得a=c，

∴a=b=c，

∴△ABC為等邊三角形；

（2）a，b是方程x2+mx-3m=0的兩個根，

∴方程x2+mx-3m=0有兩個相等的實數根

∴△=m2-4×（-3m）=0，

即m2+12m=0，

∴m1=0，m2=-12．

當m=0時，原方程的解為x=0（不符合題意，舍去），

∴m=-12．

【解析】

（1）因為方程有兩個相等的實數根，即△=0，由△=0可以得到一關于a,c的方程，再結合方程3cx+2b=2a的根為x=0,代入即可得到一關于a,b的方程，聯立即可求出a，b，c的關系.

（2）根據（1）中求出a，b的值，可以關于m的方程，解方程即可求出m.

解：∵有兩個相等的5t實數根，

∴，

整理得①，

又∵的根為，

∴②，

把②代入①得，

∴，

∴為等邊三角形；

，是方程的兩個根，

∴方程有兩個相等的實數根

∴，

即，

∴，．

當時，原方程的解為（不符合題意，舍去），

∴．