Question

【題目】如圖1,已知直線l1∥l2,線段AB在直線l1上,BC垂直于l1交l2于點C,且AB=BC,P是線段BC上異于兩端點的一點,過點P的直線分別交l2、l1于點D. E(點A. E位于點B的兩側)，滿足BP=BE，連接AP、CE.

（1）求證：△ABP≌△CBE；

（2）連結AD、BD，BD與AP相交于點F. 如圖2.

①當=2時，求證：AP⊥BD；

②當=n(n>1)時,設△DAP的面積為S1,△EPC的面積為S2,求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②n+1.

【解析】

（1）根據平行和垂直得出∠ABP=∠CBE，再根據SAS證明即可；

（2）①延長AP交CE于點H，求出AP⊥CE，證出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四邊形BDCE，推出CE∥BD即可；②分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入求出即可．

（1）證明：∵BC⊥直線l1，

∴∠ABP=∠CBE，

在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①證明：延長AP交CE于點H，

∵△ABP≌△CBE，

∴∠APB=∠CEB，

∵∠PAB+∠APB=90°，

∴∠PAB+∠CEB=90°，

∴AH⊥CE，

∵=2，即P為BC的中點，直線l1∥直線l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴

∴DP=PE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

∴CE∥BD，

∵AH⊥CE，

∴AP⊥BD；

②解：∵=n，

∴BC=nBP，

∴CP=（n-1）BP，

∵CD∥BE，

易得△CPD∽△BPE，

∴

設△PBE的面積S△PBE=S，則△PCE的面積S△PCE滿足，即S2=（n-1）S，

∵S△PAB=S△BCE=nS，

∴S△PAE=（n+1）S，

∵

∴S1=（n-1）S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）S，

∴.