Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（14，0）和C（0，﹣8），對稱軸為x=4．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點N以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PN被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點N的運動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結論下，直線x=1上是否存在點M使△MPN為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過C（0，﹣8），

∴c=﹣8，即y=ax2+bx﹣8，

由函數經過點（14，0）及對稱軸為x=4可得 ，

解得： ，

∴該拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣8

（2）

解：存在直線CD垂直平分PN．

由函數解析式為y= x2﹣ x﹣8，可求出點A坐標為（﹣6，0），

在Rt△AOC中，AC= = =10=AD，

故可得OD=AD﹣OA=4，點D在函數的對稱軸上，

∵線CD垂直平分PN，

∴∠PDC=∠NDC，PD=DN，

由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，

∴∠NDC=∠ACD，

∴DN//AC，

又∵DB=AB﹣AD=20﹣10=10=AD，

∴點D是AB中點，

∴DN為△ABC的中位線，

∴DN= AC=5，

∴AP=AD﹣PD=AD﹣DN=10﹣5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）時，線段PN被直線CD垂直平分．

在Rt△BOC中，BC= = =2 ，

而DN為△ABC的中位線，N是BC中點，

∴CN= ，

∴點N的運動速度為每秒 單位長度

（3）

解：存在，過點N作NH⊥x軸于H，則NH= OC=4，

PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PNH中，PN= = =4 ，

①當MP=MN，即M為頂點，則此時CD與PN的交點即是M點（上面已經證明CD垂直平分PN），

設直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），

因為點C（0，﹣8），點D（4，0），

所以可得直線CD的解析式為：y=2x﹣8，

當x=1時，y=﹣6，

∴M1（1，﹣6）；

②當PN為等腰△MPN的腰時，且P為頂點．

設直線x=1上存在點M（1，y），因為點P坐標為（﹣1，0），

從而可得PM2=22+y2，

又PN2=80，

則22+y2=80，

即y=±2 ，

∴M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ）；

③當PN為等腰△MPN的腰時，且N為頂點，點N坐標為（7，﹣4），

設直線x=1存在點M（1，y），

則NM2=62+（y+4）2=80，

解得：y=2 ﹣4或﹣2 ﹣4；

∴M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

綜上所述：存在這樣的五點：M1（1，﹣6），M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ），M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

【解析】（1）由題意拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（14，0）和C（0，﹣8），對稱軸為x=4，根據待定系數法可以求得該拋物線的解析式；（2）假設存在，設出時間t，則根據線段PN被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質及勾股定理來求解t，看t是否存在；（3）假設直線x=1上是存在點M，使△MPN為等腰三角形，此時要分兩種情況討論：①當PN為等腰△MPN的腰時，且P為頂點；②當PN為等腰△MPN的腰時，且Q為頂點；然后再根據等腰三角形的性質及直角三角形的勾股定理求出M點坐標．