Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可得：AB=10，

由題意知：OQ=t=AP=t，AC=2t，

∵AC是⊙P的直徑，

∴∠CDA=90°，

∴CD//OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= t，

∵D與Q重合，

∴ t+t=6，

解得t=

（2）解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB相交于點(diǎn)F、G，連接PF，

當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，OQ=OA﹣QA=4，

∴t= =4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

∵∠PEB=∠O=90°，

∴PE//OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

∴PE= ，

∵PF=PA=4，

∴Rt△PEF中，由勾股定理可得EF= = ，

由垂徑定理可求知：FG=2EF= ，

故⊙P被OB截得的弦長為

【解析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧才能正確解答此題．