Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的兩實數根之和不小于﹣6
（1）求k的取值范圍；
（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數y= 的圖象上，求滿足條件的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得△=[﹣2（k﹣3）]2﹣4×（k2﹣4k﹣1）≥0

化簡得﹣2k+10≥0，解得k≤5，

∵關于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的兩實數根之和不小于﹣6，

∴2（k﹣3）≥﹣6，

解得：k≥0，

即k的取值范圍是0≤k≤5

（2）解：設方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的兩個根為x1，x2，

根據題意得m=x1x2，

又∵由一元二次方程根與系數的關系得x1x2=k2﹣4k﹣1，

那么m=k2﹣4k﹣1=（k﹣2）2﹣5，所以，當k=2時m取得最小值﹣5，

∵由（1）知：0≤k≤5，

∴當k=0時，m=（0﹣2）2﹣5=﹣1，當k=5時，m=（5﹣2）2﹣5=4，

∴m的取值范圍是﹣5≤m≤4，

∵反比例函數y= ，

∴m≠0，

綜合上述，m的取值范圍為﹣5≤m≤4且m≠0

【解析】（1）若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．（2）寫出兩根之積，兩根之積等于m，進而求出m的最小值，再根據k的范圍即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了根與系數的關系的相關知識點，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．