Question

如圖所示，直線l：y=kx+b（k＞0）與y軸相交于點A₁，以OA₁為邊作正方形OA₁B₁C₁，記作第一個正方形；然后延長C₁B₁與直線相交于點A₂，再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，記作第二個正方形；同樣延長C₂B₂與直線相交于點A₃，再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，記作第三個正方形；…依此類推，又知B₁（1，1），B₂（3，2）．
（1）求直線l的解析式；
（2）第三個正方形的邊長是多少？
（3）試推測第n個正方形的邊長為多少？

Answer 1

（1）如圖，∵B₁（1，1），B₂（3，2），
∴在正方形OA₁B₁C₁和正方形C₁A₂B₂C₂中，OA₁=C₁B₁=1，A₂C₁=B₂C₂=2，
∴到A₁（0，1），A₂（1，2），
∴

b=1 k+b=2

，
解得，

k=1 b=1

，
∴直線l的解析式為：y=x+1；

（2）根據題意不難得出第一個正方體的邊長=1，
那么：n=1時，第1個正方形的邊長為：1=2⁰
n=2時，第2個正方形的邊長為：2=2¹
n=3時，第3個正方形的邊長為：4=2²
即第三個正方形的邊長是4；

（3）根據題意不難得出第一個正方體的邊長=1，
那么：n=1時，第1個正方形的邊長為：1=2⁰
n=2時，第2個正方形的邊長為：2=2¹
n=3時，第3個正方形的邊長為：4=2²
…
第n個正方形的邊長為：2^n-1．