Question

12．如圖，已知在直角坐標系中，直角梯形OABC的直角腰在y軸上，底邊OC在x軸上，且∠BCO=45°，點B的坐標是（3，4）．
（1）直接寫出點A和點C的坐標為A（0，4），C（7，0）；
（2）以動點P為圓心，以1個單位長為半徑的⊙P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O-A-B的路線向點B運動；同時點D從點C出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，當點P到達點B時，點P和點D都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，⊙P與BC所在的直線相切？
②當t為何值時，以B、P、D為頂點的三角形的面積為8？

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BM⊥OC于M．求出OA、OC的長即可解決問題．
（2）①如圖2中，設經過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點F，連結PF，由勾股定理可求出PB=$\sqrt{2}$，根據t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，即可解決問題．
②如圖3中，當P在OA上運動時，0≤t＜4．根據S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8），列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作BM⊥OC于M．

∵B（3，4），∠BCO=45°，∠BMD=90°，
∴OM=3，BM=4，∠MBD=∠MCB=45°，
∴MC=BM=4，OC=7，
A（0，4）、，C（7，0），
故答案為（0，4），（7，0）．

（2）①如圖2中，

設經過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點F，連結PF，
∴∠PFB=90°，
∵AB∥OC，∠BCO=45°，
∴∠FBP=45°，
即：PF=FB=1，
由勾股定理可得：PB=$\sqrt{2}$，
∴t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，
∴當t為（7-$\sqrt{2}$）秒時，⊙P與BC所在的直線相切．

②如圖3中，當P在OA上運動時，0≤t＜4．

由S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，
（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8）得
$\frac{1}{2}$ （3+7）×4-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$t（7-t）-$\frac{1}{2}$t×4=8，
整理，得t²-8t+12=0，解之得t₁=2，t₂=6（舍），
當P在AB上運動，4≤t＜7．
由S_△BPD=$\frac{1}{2}$×（7-t）×4=8，得t=3（舍），
∴當t=2時，以B、P、R為頂點的三角形的面積為8．

點評 本題考查圓綜合題、矩形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用分割法求三角形的面積，學會把問題轉化為方程解決，屬于中考壓軸題．