Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．
（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半徑．
（2）過點E作弦EF⊥AB于M，連接AF，若∠AFE=2∠ABC，求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OE，設圓的半徑為r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據BC與圓相切，得到OE垂直于BC，進而得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩角相等的三角形相似得到△BOE與△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；
（2）利用同弧所對的圓周角相等，得到∠AOE=4∠B，進而求出∠B與∠F的度數，根據EF與AD垂直，得到一對直角相等，確定出∠MEB=∠F=60°，CA與EF平行，進而得到CB與AF平行，確定出四邊形ACEF為平行四邊形，再由∠CAB為直角，得到CA為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答 （1）解：連接OE，設圓O半徑為r，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，
根據勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵BC與圓O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BC}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{10}$，
解得：r=3；

（2）∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$，∠AFE=2∠ABC，
∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠F=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，
∴CB∥AF，
∴四邊形ACEF為平行四邊形，
∵∠CAB=90°，OA為半徑，
∴CA為圓O的切線，
∵BC為圓O的切線，
∴CA=CE，
∴平行四邊形ACEF為菱形．

點評 此題考查了切線的性質，菱形的判定，相似三角形的判定與性質，以及垂徑定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．