Question

4．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點H，點D為AH上的一點，且DH=HC，連結BD并延長BD交AC于點E，連結EH．
（1）請補全圖形；
（2）直接寫出BD與AC的數量關系和位置關系；
（3）求證：∠BEH=45°．

Answer 1

分析 （1）根據題意直接補全圖形；
（2）先判斷出△ABH為等腰直角三角形，進而得出△AHC≌△BHD，最后用對頂角和等量代換即可得出∠ADE+∠DAE=90°，結論得證；
（3）先利用同角或等角的余角相等得出結論即可判斷出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，結論得證．

解答 解：（1）補全圖形如圖1所示；

（2）BD=AC；BD⊥AC； 
理由：∵AH⊥BC于點H，∠ABC=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴AH=BH，∠BAH=45°，
在△AHC和△BHD中，$\left\{\begin{array}{l}AH=BH\\∠AHC=∠BHD={90°}\\ HC=HD\end{array}\right.$
∴△AHC≌△BHD
∴AC=BD，∠ACH=∠BDH，
∵∠BDH=∠ADE，
∴∠ACH=∠ADE，
∵∠ACH+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AC；

（3）∵△AHC≌△BHD，
∴∠1=∠2
如圖2，過點H作HF⊥HE交BE于點F，
∴∠FHE=90°
即∠4+∠5=90°
又∵∠3+∠5=∠AHB=90°
∴∠3=∠4，
在△AHE和△BHF中，$\left\{\begin{array}{l}∠1=∠2\\ AH=BH\\∠4=∠3\end{array}\right.$
∴△AHE≌△BHF
∴EH=FH，
∵∠FHE=90°
∴△FHE是等腰直角三角形
∴∠BEH=45°，

點評 此題是三角形的全等的性質和判定，主要考查了等腰直角三角形的性質和判定，同角或等角的余角相等，構造出直角三角形EFH是解本題的關鍵，也是難點，注：出現直角，要聯想到互余．