Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺規作圖：作∠ABC的平分線，交AC于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）E是底邊BC的延長線上一點，M是BE的中點，連接DE、DM．若CE=CD，求證：DM⊥BE．

Answer 1

分析 （1）以點B為圓心，適當的長為半徑作弧，交∠ABC于兩點，分別以這兩點為圓心，適當的長為半徑畫弧，交于一點，最后過該點與點B作射線，交AC于點D即可；
（2）先根據角平分線的定義以及三角形外角性質，求得∠E=∠DBC，進而得出BD=DE，再根據M是BE的中點即可得出結論．

解答 解：（1）如圖所示，射線BD即為所求；


（2）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠E=∠DBC，
∴BD=DE，
又∵M是BE的中點，
∴DM⊥BE．

點評 本題主要考查了基本作圖的運用以及等腰三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質．