Question

【題目】如圖所示，將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象．函數y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A．函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點C，兩函數圖象分別交于B、D兩點．

（1）求函數y=ax2+bx+c的解析式；

（2）如圖2，連接AD、CD、BC、AB，判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

（3）如圖3，連接BD，點M是y軸上的動點，在平面內是否存在一點N，使以B、D、M、N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（3）存在，點N坐標為(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．

【解析】

(1)由軸對稱和平移的性質可求解；
(2)分別求出點A，點B，點C，點D坐標，由兩點距離公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的長，由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABCD是平行四邊形；
(3)分兩種情況討論，利用矩形的性質，可求解．

(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移5個單位，

∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；

(2)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：

∵y=﹣x2+5的頂點為點C，

∴點C的坐標為(0，5)．

∵函數y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A，

∴點A(﹣1，0)，

聯立方程組可得：，

∴ 或 ，

∴點D的坐標為(﹣2，1)，點B的坐標為(1，4)．

∵點D(﹣2，1)，點B(1，4)，點A(﹣1，0)，點C(0，5)，

∴，

同理可求得：CD=，AD=，BC=，AC=，BD=3，

∴AB=CD，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

(3)存在，

設點N(x，y)

若BD為矩形的邊，四邊形BDMN是矩形時．

∵點D的坐標為(﹣2，1)，點B的坐標為(1，4)，

設直線BD解析式為：，

∴，

解得：，

∴直線BD解析式為：y=x+3，

∵DM⊥BD，

∴設直線DM的解析式為，

將點D的坐標為(﹣2，1)代入得：，

解得：，

∴直線DM的解析式為y=﹣x﹣1，

∴點M的坐標為(0，﹣1)．

∵BM與DN互相平分，

∴，，

∴x=3，y=2，

∴點N的坐標為(3，2)；

若BD為矩形的邊，四邊形BDNM是矩形時．

∵點D的坐標為(﹣2，1)，點B的坐標為(1，4)，直線BD解析式為：y=x+3，

∵BM⊥BD，

∴設直線BM的解析式為，

將點B的坐標為(1，4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的解析式為y=﹣x+5，

∴點M的坐標為(0，5)．

∵BN與DM互相平分，

∴，，

∴x=﹣3，y=2，

∴點N的坐標為(﹣3，2)；

若BD為對角線．

∵點D、B、N的坐標分別為(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，

點M的橫坐標為0，設點M的縱坐標為，

∵BD與MN互相平分，

∴，，

∴，，

點N的坐標為(，)，點M的坐標為(0，5﹣y)，

∵BD=MN，

∴

整理得：

解得：，

∴點N的坐標為(，)或(，)，

綜上所述：點N坐標為(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．