Question

【題目】已知內接于圓，點為弧上一點，連接交于點，．

　　　　　　　　　　

（1）如圖1，求證：弧弧；

（2）如圖2，過作于點，交圓點，連接交于點，且，求的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，圓上一點與點關于對稱，連接，交于點，點為弧上一點，交于點，交的延長線于點，，的周長為20，，求圓半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=

【解析】

（1）證∠ABD=∠ACB可得；

（2）如下圖，△AHD繞點A旋轉至△ALE處，使得點D與點B重合，證△ALE≌△AHE，利用勾股定理逆定理推導角度；

（3）如下圖，延長QR交AB于點T，分別過點N、Q作BD的垂線，交于點V，I，取QU=AE，過點U作UK垂直BD.先證△AEN≌△QUD，再證△NVE≌△RKU，可得到NV=KR=DK，進而求得OB的長.

（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA

∵∠ABC=∠ABD+∠EBC

又∵∠CED=∠ABC

∴∠ABD=∠ACB

∴弧AB=弧AD

（2）如下圖，△AHD繞點A旋轉至△ALE處，使得點D與點B重合

∵△ALB是△AHD旋轉所得

∴∠ABL=∠ADB，AL=AH

設∠CAG=a，則∠CBG=a

∵BG⊥AC

∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a

∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a

∴∠LAE=∠EAH=a

∵LA=AH，AE=AE

∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH

∵HD=LB，

∴△LBE為直角三角形

∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°

∴∠CAG=45°

（3）如下圖，延長QR交AB于點T，分別過點N、Q作BD的垂線，交于點V，I，取QU=AE，過點U作UK垂直BD

由（2）得∠BAD=90°

∴點O在BD上

設∠R=n，則∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n

∴∠AEN=2n

∵SQ⊥AC

∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD

∵QU=AE

∴△AEN≌△QUD

∴∠QUD=∠AEN=2n

∴UD=UR=NE，

∵△ANE的周長為20

∴QD+QR=20

在△DQR中，QD=7

∵∠ENR=∠UDK=∠R=n

∴△NVE≌△RKU

∴NV=KR=DK=

∴BN=5

∴BD=12，OB=6