Question

【題目】如圖1，在中，，，點為邊上的動點（點不與點，重合）．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點，連接．

（1）求證：；

（2）當時（如圖2），求的長；

（3）點在邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF=CF，此時BD=9．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質有∠B=∠ACB，然后根據∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B即可得出∠BAD=∠CDE，則結論可證；

（2）過點A作AM⊥BC于M，設，在中利用勾股定理求出k的值，然后利用等腰三角形三線合一求出BC的長度，然后證明△ABD∽△CBA，

則，由此可求出DB的長度，最后再利用平行線分線段成比例有，即可求出AE的長度；

（3）作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N，首先證明四邊形AMHN為矩形，

則有∠MAN=90°，MH=AN，然后設，在中利用勾股定理求出k的值，然后利用等腰三角形三線合一求出BC的長度，然后證明△AFN∽△ADM，

利用相似三角形的性質可求出AN的長度，進而求出CH的長度，再根據等腰三角形三線合一求出CD的長度，最后利用BD=BC-CD即可得出答案．

（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△BAD∽△DCE．

（2）解：過點A作AM⊥BC于M．

∵，

∴設 ，

∴

解得或（舍去）

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴BC=2BM=2×4k=16，

∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE，

∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，

∴∠BAD=∠ACB，

∵∠ABD=∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴．

（3）點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF=CF．

理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．

∵FH⊥BC，AM⊥BC，AN⊥FH，

∴∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，

∴四邊形AMHN為矩形，

∴∠MAN=90°，MH=AN，

∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF=90°=∠AMD，

∵∠DAF=90°=∠MAN，

∴∠NAF=∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴，

∴，

∴CH=CM-MH=CM-AN=8-=，

當DF=CF時，由點D不與點C重合，可知△DFC為等腰三角形，

∵FH⊥DC，

∴CD=2CH=7，

∴BD=BC-CD=16-7=9，

∴點D在BC邊上運動的過程中，存在某個位置，使得DF=CF，此時BD=9．