Question

【題目】正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連結DF，BF，如圖．
（1）若α=0°，則DF=BF，請加以證明；
（2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；
（3）對于（1）中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，

∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，

∴DG=BE，

在△DGF和△BEF中，

，

∴△DGF≌△BEF（SAS），

∴DF=BF

（2）解：圖形（即反例）如圖2，

（3）解：補充一個條件為：點F在正方形ABCD內；

即：若點F在正方形ABCD內，DF=BF，則旋轉角α=0°

【解析】（1）利用正方形的性質證明△DGF≌△BEF即可；（2）當α=180°時，DF=BF．（3）利用正方形的性質和△DGF≌△BEF的性質即可證得是真命題．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質和命題與定理，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題；經過證明被確認正確的命題叫做定理即可以解答此題．