Question

如圖，在直角梯形紙片中，，，，將紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．連接并展開紙片．
（1）求證：四邊形是正方形；
（2）取線段的中點，連接，如果，試說明四邊形是等腰梯形．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）說理見解析.

試題分析：(1)由題意知，AD=DE，易證四邊形AFED是矩形，所以四邊形AFED是正方形，連接DG由于BG與CD平行且相等，所以邊形BCDG是平行四邊形
(2)由（1）知CB=DG，在正方形AFED中，易證△DAG≌△EFG，所以DG=EG=BC，即四邊形GBCE是等腰梯形．
試題解析：（1）∵△DEF由△DAF折疊而得，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ADE=180°-∠A=90°．
∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．
∴四邊形ADEF是矩形．
又∵DA=DE，
∴四邊形ADEF是正方形.
（2）由折疊及圖形特點易得EG與CB不平行，
連接DG，

∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四邊形BCDG是平行四邊形．
∴CB=DG．
∵四邊形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中點，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中
，
∴△DAG≌△EFG（SAS）．
∴DG=EG．
∴EG=BC．
∴四邊形GBCE是等腰梯形．