Question

【題目】如圖，AB是的一條弦，點C是上一動點，且，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與交于G、H兩點．若的半徑為5，則的最大值為______．

Answer 1

【答案】7.5

【解析】

首先連接OA、OB，根據圓周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，進而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據⊙O的半徑為5，可得AB=OA=OB=5，再根據三角形的中位線定理，求出EF的長度；最后判斷出當弦GH是圓的直徑時，它的值最大，進而求出GE+FH的最大值是多少即可．

如圖1，連接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=OA=OB=5，
∵點E，F分別是AC、BC的中點，
∴EF=AB=，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵當弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：5×2=10，
∴GE+FH的最大值為：10-=7.5．
故答案為：7.5．