Question

【題目】如圖，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，DE經過點O且平行于BC，分別與AB，AC交于點D、E。

（1）如圖1，若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數；

（2）如圖1，若∠ABC=α°，∠ACB=β°，用含α、β的式子表示∠BOC的度數；

（3）探究：如圖空白圖，在第（2）問的條件下，若∠ABC和∠ACB的鄰補角的平分線交于點O，其他條件不變，請畫出相應圖形，并用含α、β的式子表示∠BOC的度數。

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）；（3）

【解析】整體分析：

（1）根據角平分線的性質和平行線的性質，求出∠BOD+∠COE的度數即可；（2）與（1）的方法類似，用α，β表示∠BOD+∠COE的度數；（3）根據題意，畫出圖形，用角平分線的定義和三角形的內角和定理求解.

解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°.

∵DE∥BC，

∴∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，

∴∠BOC=180°-（∠BOD+∠COE）

=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-55°=125°.

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠ABC=α°，∠ACB=β°，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（α+β）.

∵DE∥BC，

∴∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，

∴∠BOC=180°-（∠BOD+∠COE）

=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（α+β）.

（3）∵BO，CO分別為△ABC的外角的平分線，

∴∠OBC=90°-α，∠OCB=90°-β，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（90°-α+90°-β）

=（α+β）.