Question

如圖所示，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一點(diǎn)O，使OB＝OC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，過(guò)C作CD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接BD。
（1）猜想AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）試判斷四邊形BOCD的形狀，并證明你的判斷；
（3）已知AC＝6，求扇形OBC圍成的圓錐的底面圓半徑。

Answer 1

（1）相切 （2）四邊形BOCD是菱形 （3）∴底面圓半徑     

試題分析：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的判定方法和圓錐的計(jì)算．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到，AC是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判斷△OCD為等邊三角形，則CD=OB=OC，先可判斷四邊形OBDC為平行四邊形，加上OB=OC，于是可判斷四邊形BOCD為菱形；（3）在Rt△AOC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到
OC=     ∴弧BC的弧長(zhǎng)=  然后根據(jù)圓錐的計(jì)算求圓錐的底面圓半徑．
試題解析（1）AC與⊙O相切        
，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°。
，∠CBO＝∠BCO＝30°，
∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC與⊙O相切。              
（2）四邊形BOCD是菱形           
連接OD。
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°
，
∴△COD是等邊三角形，
，
∴四邊形BOCD是平行四邊形，

∴四邊形BOCD是菱形。           
（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，
ACtan∠A＝6tan30°＝，
∴弧BC的弧長(zhǎng)     
∴底面圓半徑