Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+2bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B的右側），且與y軸正半軸交于點C，已知A（2，0）
（1）當B（﹣4，0）時，求拋物線的解析式；
（2）O為坐標原點，拋物線的頂點為P，當tan∠OAP=3時，求此拋物線的解析式；
（3）O為坐標原點，以A為圓心OA長為半徑畫⊙A，以C為圓心， OC長為半徑畫圓⊙C，當⊙A與⊙C外切時，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（2，0）、B（﹣4，0）的坐標代入y=﹣x2+2bx+c得， ，

∴b=﹣1．c=8，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+8；

（2）解：如圖1，

設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H，把點A（2，0）的坐標代入y=﹣x2+2bx+c得，

﹣4+4b+c=0①，

∵拋物線的頂點為P，

∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，

∴P（b，b2+c），

∴PH=b2+c，AH=2﹣b，

在Rt△PHA中，tan∠OAP= ，

∴ =3②，

聯立①②得， ，

∴ （不符合題意，舍）或 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+8；

（3）解：∵如圖2，

拋物線y=﹣x2+2bx+c與y軸正半軸交于點C，

∴C（0，c）（c＞0），

∴ OC= c，

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴AC= ，

∵⊙A與⊙C外切，

∴AC= c+2= ，

∴c=0（舍）或c= ，

把點A（2，0）的坐標代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，

∴b= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+ x+ ．

【解析】（1）利用待定系數法即可確定出函數解析式；（2）用tan∠OAP=3建立一個b，c的關系，再結合點A得出的等式即可求出b，c進而得出函數關系式；（3）用兩圓外切，半徑之和等于AC建立方程結合點A代入建立的方程即可得出拋物線解析式．