Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，點M、N分別在AD、BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分別為E、F．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）探究一：四邊形MNFE的面積有無最大值？若有，請求出這個最大值；若無，請說明理由；
（3）探究二：四邊形MNFE能否為正方形？若能，請求出正方形的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）如圖，
過點A作AG⊥CD于G，過B作BQ⊥DC于Q，
則AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四邊形AGQB是平行四邊形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=

AD2-AG2

，CQ=

BC2-BQ2

，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG=

AD2-DG2

=

52-42

=3，
∴S_梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；

（2）設MN=x，AG與MN交于點O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即

x-2

2

：

10-2

2

=AO：3，
∴AO=

3x-6

8

，
∴OG=3-

3x-6

8

=

30-3x

8

，
∴S_矩形MNFE=x•

30-3x

8

=

15

4

x-

3

8

x²，
∵二次項系數小于0，
∴當x=5時，四邊形MNFE的面積有最大值：[4×（-

3

8

）×0-（

15

4

）²]÷[4×（-

3

8

）]=

75

8

；

（3）當MN=ME時，四邊形MNFE能為正方形．
由（2）可得，ME=OG=

30-3x

8

，
則=

30-3x

8

=x，
解得x=

30

11

，
此時，正方形MNFE的面積為：（

30

11

）²=

900

121

．