Question

【題目】如圖，在矩形中，已知，點是對角線的中點，點是邊上的動點，連接并延長交于點，過作，分別交矩形的邊于點

（1）當四點分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點）時，

①求證：四邊形是菱形．

②求的取值范圍．

（2）當四邊形的面積為144時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）為或或2或14

【解析】

（1）①根據題意利用對角線垂直且平分的四邊形是菱形判定四邊形是菱形．

②找極限點，當與重合時，在和中；可求得DE，進而求出AE；當與重合時，同理可得：，即得到AE的取值范圍；

（2）分兩種情況：

①當四邊分別分布在矩形的兩條邊上時，當點在邊上，由題（1）同理可證：四邊形是菱形，且此時菱形的高為12，根據面積為144可求出，即四邊形是正方形，可得到AE=2；同理當G運動到BC上時，AE=14；

②當四點分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點）時，如圖6．過點作，交分別于點P，Q，得到，根據相似比設代入菱形面積公式求出a，再由勾股定理求出PE，即可求出，同理G運動到靠近C時根據對稱性找出．

解：（1）①證明：在矩形中，，

．

又

同理可證：

又，

四邊形是菱形．

②當與重合時，如圖2，

在矩形中，

由勾股定理可得：且

在和中，

，

當與重合時，如圖3，同理可得：，

，

當四點分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點）時，的取值范圍為．

（2）

①當四邊分別分布在矩形的兩條邊上時，當點在邊上，如圖4，由題（1）同理可證：四邊形是菱形，且此時菱形的高為12

，

．

故

四邊形是正方形

由于正方形和矩形對稱軸為同一條，

，

同理可證：當點在邊上時，如圖5，．

②當四點分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點）時，如圖6．過點作，交分別于點P，Q

易得．且，

，

，

設，

，

，

，

當點在點左側時，，

由對稱性可得，當點在點右側時，如圖7，；

綜上所述：為或或2或14．