Question

【題目】如圖，在中，以為直徑的交邊于點，過點作于點，交于點，連結

（1）求證：

（2）當時，求的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用直徑所對的角是直角求得∠BDA=90°，由∠B=∠F，利用等角的余角相等，證得∠BAD=∠FAE，從而證得結論；

（2）連結BF，利用勾股定理求得AC=，再證得△ABF∽△ACD，得到，即可求解．

（1）∵AB是圓O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∴∠BAD+∠B=90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FAE+∠F=90°，

∵∠B=∠F，

∴∠BAD=∠FAE，

∴∠BAD－∠DAF=∠FAE－∠DAF，

即：∠BAF=∠DAC；

（2）連結BF，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠BFA=90°，

∵∠BDA=90°，

∴∠ADC=180°-∠BDA=90°，

∴AC=，

∴∠BFA=∠ADC=90°，

由（1）得：∠BAF=∠DAC，

∴△ABF∽△ACD，

∴，即，

∴．