Question

【題目】如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosa=，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉α得到線段EF，連接CF．

（1）求平行四邊形ABCD的面積；

（2）當點C、B、F三點共線時，設EF與AB相交于點G,求線段BG的長；

（3）求線段CF的長度的最小值．

Answer 1

【答案】(1)300；(2) ；(3).

【解析】

（1）作DK⊥AB于點K，由勾股定理求出DK，則可得出答案；

（2）延長CD至H，作∠AHD=α，過點A作AM⊥DH于點M，證明△AEH≌△EFC，得出EH=CF，CE=AH=13，證明△FBG∽△FCE，可求出BG；

（3）延長CD至P，使∠P=∠ADP=α，過點F作FM∥BC，交CD于點M，過點FN⊥CD，交CD于點N，證明△EAP≌△FEM（AAS），得出EM=AP=13，FM=EP，設DE=x，則FM=EP=10+x，CM=25-（13+x）=12-x，可用x表示FN，CN，由勾股定理求出CF，根據二次函數的性質可得出答案．

解（1）如圖1，作于點，

將線段繞點逆時針旋轉得到線段，

，，

在中，

，且，

，

，

；

（2）如圖2，延長至，作，

，

，

過點作于點，

由（1）知，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

，

即，

；

（3）如圖3，延長至，使，過點作，交于點，過點，交于點，

由（2）可知，

在和中．

，

，

，，

設，則，，

，，

，

在中，，

對稱軸，

當時，的值最小，的最小值為．