Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經過點A，D的⊙O分別交AB，AC于點E，F，連接OF交AD于點G．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)求證：；

(3)若BE=8，sinB=，求AD的長，

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；（2）連接DF，證明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性質即可證得結論；（3）連接EF，設圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin∠AEF=sinB，進而求出AF的長，再根據（2）的結論即可求得AD的長．

（1）如圖，連接OD，

∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（2）連接DF，由（1）知BC為圓O的切線，

∴∠FDC=∠DAF，

∴∠CDA=∠CFD，

∴∠AFD=∠ADB，

∵∠BAD=∠DAF，

∴△ABD∽△ADF，

∴，

即AD2=ABAF；

(3)連接EF，在Rt△BOD中，sinB=，

設圓的半徑為r，可得，

解得：r=5，

∴AE=10，AB=18，

∵AE是直徑，

∴∠AFE=∠C=90°，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，

∴sin∠AEF=，

∴AF=AEsin∠AEF=10×=，

∵AD2=ABAF

∴AD=．