Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且tan∠CAO＝3．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是對稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP，交對稱軸于點(diǎn)F，當(dāng)S△CDF：S△FDP＝2：3時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將△PCD沿直線MN翻折，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時，折痕MN交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求解；

（2）利用，即可求解；

（3）證明∠ONM＝∠POH，則．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3的圖象與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴OC＝3，

連接AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，

∴OA＝1，

將點(diǎn)A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0，

解得：a＝1．

所以，這個二次函數(shù)的解析式為 y＝x2﹣4x+3；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥DF，過點(diǎn)P作PQ⊥DF，垂足分別為點(diǎn)G、Q．

∵拋物線y＝x2﹣4x+3的對稱軸為直線x＝2，

∴CG＝2，

∵，

∴PQ＝3，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，

∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，8）；

（3）過點(diǎn)P作PH⊥OM，垂足分別為點(diǎn)H，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，8），

∴OH＝5，PH＝8，

∵將△PCD沿直線MN翻折，點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合，

∴MN⊥OP，

∴∠ONM+∠NOP＝90°，

又∵∠POH+∠NOP＝90°，

∴∠ONM＝∠POH，

∴．